平行四边形符号（特殊平行四边形综合专题）
1、能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；
2、运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；
3、通过学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概况、合理推理以及严谨的思考、学习习惯．
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
3．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
4．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．
5．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=
ab．（a、b是两条对角线的长度）
6．菱形的判定
（1）四条边都_____的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
8．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
9．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
10．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
参考答案：
1.（1）平行
3.（1）③平分 相等
4.（1）②直角；④相等（2）一半
5.（1）④2
6.（1）相等
7.（2）①直角
9.（1）①中点
1. 菱形的性质；平行四边形的性质．
【例1】（2014•泸州第一中学期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【解析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
练1. （2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO= °．
【解析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90°﹣55°=35°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为：35°．
练2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解析】首先利用平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，进而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可．
解：四边形AECF是菱形，
理由：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∴在△AFO和△CEO中
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
故选：C．
2. 菱形的性质；坐标与图形性质．
【例2】（2014•武汉华中师大附中月考）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
【解析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=
AC，BE=DE=
BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=
AC，BE=DE=
BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
练3. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．
【解析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．
解：连接ED，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1，
），
∴点C的坐标为（3，
），
∴可得直线OC的解析式为：y=
x，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+
）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组
的解，
解方程组得：
，
所以点P的坐标为（
），
故答案为：（
）．
3. 矩形的性质；菱形的判定．
【例3】（2014•新疆石河子中学一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
【解析】求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于M点，
∴ME=MF，
∴四边形EMFN为菱形．
故选B．
练4. 下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
【解析】根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．
解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；
故选C．
练5. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
【解析】根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=
BE，AG=GF=
AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
4．正方形的判定；矩形的性质．
【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 ．
【解析】根据翻折变换及正方形的判定方法进行分析即可．
解：根据题意可得，其判定方法是：有一组邻边相等的矩形是正方形．
总结：本题考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方法：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
练6. 下列说法中，错误的是（ ）
A．菱形的四条边都相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．等腰梯形的对角线相等
【解析】根据各四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解：A正确，符合菱形的性质；
B不正确，得到的应该是菱形；
C正确，符合矩形的判定；
D正确，符合等腰梯形的性质；
故选B．
5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．
【例5】（2014秋•张家港市校级期末）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？
【解析】（1）当四边形PQCD是平行四边形时，必须有PQ=CD，而PQ、CD均可用含有t的式子表示出来，所以列方程解答即可．
（2）当PQ=CD，PD≠QC时，四边形PQCD为等腰梯形．过P，D分别作PE⊥BC，DF⊥BC后，可求出CF=2，所以当等腰梯形成立时，CQ=PD+4，然后列方程解答即可．
解：（1）∵AD∥BC，
∴当QC=PD时，四边形PQCD是平行四边形．
此时有3t=24﹣t，解得t=6．
∴当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）∵AD∥BC，
∴当PQ=CD，PD≠QC时，
四边形PQCD为等腰梯形．
过P，D分别作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
∴四边形ABFD是矩形，四边形PEFD是矩形．
∴EF=PD，BF=AD．
∵AD=24cm，
∴BF=24cm．
∵BC=26cm．
∴FC=BC﹣BF=26﹣24=2（cm）．
由等腰梯形的性质知，QE=FC=2cm．
∴QC=EF+QE+FC=PD+4=AD﹣AP+4，
即3t=（24﹣t）+4，解得t=7．
∴当t=7时，四边形PQCD是等腰梯形．
练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．
（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．
【解析】根据中点的条件，可以利用．三角形的中位线定理证明四边形EFPG的两组对边分别平行，得出这个四边形是平行四边形；在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明一个角是直角就可以．
解：（1）四边形EFPG是平行四边形．
理由：∵点E、F分别是BC、PC的中点，
∴EF∥BP．（2分）
同理可证EG∥PC．（3分）
∴四边形EFPG是平行四边形．
（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
证明：延长BA、CD交于点M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM是等边三角形．
∵∠MAD=180°﹣120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM即∠BPC=90度．
由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，
∴四边形EFPG是矩形．
方法二：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
证明：延长BA、CD交于点M．由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形．
当四边形EFPG是矩形时，∠BPC=90度．
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60度．
∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．
∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形．
∴∠ABP=∠PBC=30°，
∴PC=PM=
CM．
同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，
∴PC=6×
=3．
即当PC=3时，四边形EFPG是矩形．
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B．
C．6 D．5
3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2
B．3
C．5 D．6
4．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为 ．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．
_________________________________________________________________________________
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1．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 ．
2．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
6．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
8．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形．
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．
2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=
AC，OB=
BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
=5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
3．
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=
AC=2
，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=
=4
，
∴AO=
AC=2
，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴AE=5．
故选C．
4．
【考点】菱形的性质；正方形的性质．
【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，
∴AO=
AC=
×6=3cm，
BO=
BD=
×4=2m，
如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF+AG=6+2=8cm，
在Rt△BFG中，BF=
=
=
cm，
如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，
BG=AO=3cm，
FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，
在Rt△BFG中，BF=
=
=5cm，
综上所述，BF长为5cm或
cm．
故答案为：5cm或
cm．
5．
【考点】菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO=
AB，OF=
AD，
∴EO=FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，
∴BO=
=
=12，
∴BD=24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF
BD，
∴EF=12．
家庭作业
1．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；
故答案为：AD=DC．
2．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF=FB，
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．
3．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根据菱形的判定得出即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，
∵在△AED和△CFD中
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C是解题关键．
4．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠ABC的平分线即可；
（2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，进而得出△ABO≌△FBO，进而利用AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
∵在△ABO和△FBO中，
，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，
∴四边形ABFE为菱形．